Logische Verknüpfungen
Grundglieder
Grundlagen
In der Digitaltechnik kommen logische Schaltungen zum Einsatz, deren Funktion grundlegend für die gesamte Schaltalgebra ist. Sie werden daher als Grundglieder oder Grundgatter bezeichnet.
Es sind dies
das UND-Gatter,
das ODER-Gatter und
das NICHT-Gatter.
Das UND-Gatter (Konjunktion)
Die Aussage „Wenn morgen schönes Wetter ist und ich Zeit habe, dann gehe ich wandern.“ enthält eine UND-Verknüpfung. Die Aussage A („Wenn morgen schönes Wetter ist“) und die Aussage B („wenn ich Zeit habe“) müssen erfüllt sein, damit die Aussage X („gehe ich wandern“) wahr wird. Dieser Zusammenhang kann in einer Wahrheitstabelle dargestellt werden.
Der Zustand 1 bedeutet „wahr“ bzw. „zutreffend“, der Zustand 0 bedeutet „unwahr“ oder „nicht zutreffend“. Es sind vier Fälle (Kombinationen) möglich, deren Reihenfolge im Prinzip beliebig ist, für die Schaltalgebra aber in der oben angeführten Form anzugeben ist.
Das UND-Gatter (UND-Glied, UND-Element, AND-Gate) muss daher eine Schaltung sein, deren Ausgang X nur dann den Wert 1 annimmt, wenn beide Eingänge A und B den Wert 1 annehmen.
Für die Funktionserklärung wird die Schaltung wegen der besseren Übersicht mit Relais realisiert, in der modernen Schaltungstechnik werden heute fast ausschließlich integrierte Halbleiterschaltungen verwendet.
Die UND-Verknüpfung kann auch mathematisch mit Hilfe der Schaltalgebra ausgedrückt werden:
Anmerkung: das Zeichen „^“ ist das genormte Zeichen für eine UND-Verknüpfung, in der älteren Literatur sind auch noch X = A ∙ B oder X = A & B üblich.
Die möglichen Schaltzeichen eines UND-Gatters sehen folgendermaßen aus:
Bei einem UND-Gatter wird der Ausgang X logisch 1, wenn alle Eingänge (A, B, …) logisch 1 sind,
in allen anderen Fällen ist der Ausgang logisch 0.
Das ODER-Gatter (Disjunktion)
Der Satz „Wenn ich eine Erbschaft mache oder im Lotto gewinne, mache ich eine Weltreise.“ enthält eine ODER-Verknüpfung. Die Weltreise wird gemacht, wenn entweder die Aussage A (Erbschaft) oder die Aussage B (Lottogewinn) oder beide Aussagen zutreffen. Den Zusammenhang zeigt wieder die Wahrheitstabelle.
Eine Schaltung, bei der am Ausgang immer dann 1 anliegt, wenn am Eingang A oder am Eingang B oder an beiden Eingängen 1 anliegt, wird ODER-Gatter (OR-Gate) genannt.
Die mathematische Darstellung mit Hilfe der Schaltalgebra sieht folgendermaßen aus:
Anmerkung: in älterer Literatur ist auch die Darstellung X = A + B möglich.
Die Schaltzeichen sehen wie folgt aus:
Das Zeichen „≥1“ bedeutet, dass die Anzahl der 1-Zustände an den Eingängen ≥1 sein muss, damit der Ausgang 1 wird.
Bei einem ODER-Gatter wird der Ausgang dann logisch 1, wenn mindestens ein Eingang
logisch 1 ist.
Das NICHT-Gatter (Negation)
Der Satz „Wenn meine Großmutter zu Besuch kommt, dann gehe ich heute Abend nicht fort.“ bedeutet eine Verneinung. Wenn die Aussage A (Großmutter kommt zu Besuch) wahr ist, kann die Aussage X (fortgehen) nicht wahr sein und umgekehrt. Die Wahrheitstabelle hat daher nur zwei Fälle zu unterscheiden.
Eine Schaltung, bei der am Ausgang X immer der entgegengesetzte Zustand wie am Eingang A anliegt, heißt NICHT-Gatter (NOT-Gate), Negationsglied oder Inverter.
Eine Negation wird in der Schaltalgebra durch einen übergesetzten Strich dargestellt.
In Schaltplänen werden für NICHT-Gatter folgende Schaltzeichen verwendet:
Bei einem NICHT-Gatter wird der Ausgang logisch 1, wenn der Eingang logisch 0 ist,
und umgekehrt.
Zusammengesetzte Glieder
Grundlagen
Neben den Grundgattern kommen in der Digitaltechnik auch zusammengesetzte Glieder (Gatter) zum Einsatz. Diese bestehen aus einer Kombination der Grundgatter (UND, ODER und NICHT).
Das NAND-Gatter
Schaltet man ein UND-Gatter mit einem NICHT-Gatter zusammen, dann werden alle Ausgangszustände X des UND-Gatters negiert.
Aus der englischen Bezeichnung NOT-AND (NICHT-UND) wurde durch Zusammenziehen die Bezeichnung NAND gebildet. Eine deutsche Bezeichnung hat sich nicht durchgesetzt.
Da NAND-Gatter sehr häufig verwendet werden, gibt es für sie eigene Schaltzeichen.
Mit Hilfe der Schaltalgebra lässt sich die NAND-Verknüpfung wie folgt darstellen:
Der lange Strich über der UND-Verknüpfung gibt an, dass die gesamte UND-Verknüpfung negiert wird.
Bei einem NAND-Gatter wird der Ausgang Z logisch 0, wenn alle Eingänge (A, B, …) logisch 1 sind,
in allen anderen Fällen ist der Ausgang logisch 1.
Das NOR-Gatter
Die Zusammenschaltung eines ODER-Gatters mit einem NICHT-Gatter ergibt ein NOR-Gatter (NOT-OR).
Aufgrund der relativ häufigen Verwendung wurden dem NOR-Gatter eigene Schaltzeichen zugeordnet.
Die Gleichung der Schaltalgebra sieht folgendermaßen aus:
Bei einem NOR-Gatter ist der Ausgang Z logisch 1, wenn alle Eingänge logisch 0 sind,
in allen anderen Fällen ist der Ausgang logisch 0.
Das ÄQUIVALENZ-Gatter (XNOR-Gatter)
Häufig wird eine Verknüpfungsschaltung benötigt, deren Ausgang immer dann 1 wird, wenn die beiden Eingangszustände gleich sind (also entweder beide 0 oder beide 1). Eine derartige Verknüpfung wird als ÄQUIVALENZ-Verknüpfung oder XNOR-Verknüpfung bezeichnet.
Sie weist folgende Wahrheitstabelle auf:
Die erforderliche Schaltung lässt sich aus den bereits bekannten Grundgattern (UND, ODER, NICHT) aufbauen.
Als Beweis, dass die Schaltung im Bild 5-17 ein ÄQUIVALENZ-Gatter darstellt, wird die Wahrheitstabelle schrittweise entwickelt.
Zunächst werden die Eingangszustände für die vier Fälle wie bisher eingetragen (Spalte 1 und 2). Dann werden die Ausgangszustände der NICHT-Gatter, also A und B eingetragen (Spalten 3 und 4).
Die Zustände von Q (Spalte 5) ergeben sich durch die UND-Verknüpfung von A und B.
Die Zustände von S (Spalte 6) ergeben sich durch die UND-Verknüpfung von A und B.
Q und S sind nun die Eingänge des ODER-Gatters. Dessen Ausgang wird dann 1, wenn entweder Q oder S den Zustand 1 annehmen. Dies ist im Fall 1 (A und B = 0) und im Fall 4 (A und B = 1) der Fall.
Für das ÄQUIVALENZ-Gatter sind ebenfalls eigene Schaltzeichen üblich.
In der Schaltalgebra wird die ÄQUIVALENZ-Verknüpfung wie folgt dargestellt:
Bei einem ÄQUIVALENZ-Gatter wird der Ausgang dann logisch 1, wenn beide Eingänge
den gleichen logischen Zustand aufweisen.
Das ANTIVALENZ-Gatter (EXKLUSIV-ODER-Gatter, XOR-Gatter)
Wird der Ausgang eines ÄQUIVALENZ-Gatters durch Nachschalten eines NICHT-Gatters negiert, so entsteht ein Gatter, dessen Ausgang immer dann 1 wird, wenn die Eingangszustände verschieden sind.
Ein solches Gatter wird als ANTIVALENZ-Gatter oder EXKLUSIV-ODER-Gatter bezeichnet (die englische Bezeichnung XOR ergibt sich aus dem Zusammenziehen der Bezeichnungen EXCLUSIVE und OR). Die zweite Bezeichnung besagt, dass es sich bei diesem Gatter um ein ODER-Gatter handelt, bei dem der Fall ausgeschlossen ist, dass 1 dann am Ausgang liegt, wenn beide Eingänge den Wert 1 haben.
Die Schaltzeichen sehen folgendermaßen aus:
Die ANTIVALENZ-Verknüpfung lässt sich mit der Schaltalgebra in folgender Form darstellen:
Bei einem ANTIVALENZ-Gatter wird der Ausgang dann logisch 1, wenn beide Eingänge
einen ungleichen logischen Zustand aufweisen.
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