Primär- und Sekundärstrom, -spannung, Windungsverhältnis, Leistung

15.3 Primär- und Sekundärstrom, -spannung, Windungsverhältnis, Leistung

15.3.1 Vergleich „idealer Transformator“ – „realer Transformator“

Bei der Festlegung der Übersetzungsverhältnisse eines Transformators muss darauf Rücksicht genommen werden, dass bei der Transformation unweigerlich Verluste auftreten, die diese Verhältnisse beeinflussen. Um nun zu einem Ergebnis zu kommen, wird für die ersten Überlegungen angenommen, dass es sich um einen idealen Transformator handelt, bei dem keine Verluste auftreten. Sobald eine Gesetzmäßigkeit gefunden wurde, werden die Einflussfaktoren eines realen Transformators berücksichtigt und die Aus­wirkungen auf das Übersetzungsverhältnis festgehalten.

Vergleich „idealer Transformator“ - „realer Transformator“

Bei einem realen Transformator treten Verluste auf, die Einfluss auf die
Übersetzungsverhältnisse haben.

15.3.2 Die Spannungsübersetzung

15.3.2.1 Spannungsübersetzung des idealen Transformators

Zu Beginn des Kapitels wurde bereits erwähnt, dass der Transformator eine Wechselspannung in eine andere Wechselspannung mit gleicher Frequenz umwandelt. Das Verhältnis zwischen den beiden Wechsel­spannungen wird durch die Spannungsübersetzung ausgedrückt.

Zur Herleitung der Spannungsübersetzung wird ein Transformator verwendet, dessen Primärwicklung eine Windungsanzahl N1 und dessen Sekundärwicklung eine Windungsanzahl N2 aufweist.

Spannungsübersetzung beim idealen Transformator

Zur Bestimmung der Höhe der Spannungen U1 und U2 benötigt man das Induktionsgesetz:

Übersetzungsverhältnisse Formel

In der Darstellung des Transformators ist ersichtlich, dass sowohl die Primärwicklung als auch die Sekundär­wicklung vom Fluss Φ durchflossen werden. Das bedeutet, dass in der Primär- und in der Sekundärwicklung auch die Änderungsgeschwindigkeit ΔΦ/Δt des Flusses gleich groß ist.
Bringt man nun das Induktionsgesetz in die Form

Übersetzungsverhältnisse Formel

dann kann das Verhältnis von Spannung und Windungsanzahl sowohl auf der Primär als auch auf der Sekundärseite gleichgesetzt werden:

Übersetzungsverhältnisse Formel

Nach Umformung der Gleichung ergibt sich daher für die Spannungsübersetzung:

Übersetzungsverhältnisse Formel

Beim idealen Transformator verhalten sich die Klemmenspannungen wie die Windungszahlen.

15.3.2.2 Spannungsübersetzung des realen Transformators

Beim realen Transformator stimmt das Verhältnis der Klemmenspannungen nicht exakt mit dem Verhältnis der Windungszahlen überein.

Spannungsübersetzung beim realen Transformator

Den ersten Einflussfaktor stellen die Ohmschen Widerstände der Wicklungen dar. Durch den Stromfluss I1 in der Primärwicklung N1 fällt am Widerstand RCu der Wicklung eine Spannung ab. Dadurch wird zunächst der in der Primärwicklung erzeugte Gesamtfluss Φ = Φh + Φs reduziert. Daraus resultiert bereits eine geringere induzierte Spannung in der Sekundärwicklung N2. Wird zusätzlich ein Verbraucher angeschlossen, dann wird die Klemmenspannung U2 durch den Spannungsabfall an RCu weiter reduziert.

Der zweite Einflussfaktor ist der Streufluss Φs. Dieser tritt aus dem Eisenkern aus und erreicht die Sekundärwicklung nicht. Damit wird der für die Spannungsinduktion in der Sekundärwicklung notwendige Fluss weiter reduziert und die Spannung im Sekundärkreis sinkt weiter.

Durch die Ohmschen Widerstände der Wicklungen und durch die Streuung des Magnetfeldes
verhalten sich beim realen Transformator die Klemmenspannungen im Allgemeinen nicht wie
die Windungszahlen.

Es kann aber für den Leerlauf dennoch eine Aussage getroffen werden. Da hier auf der Sekundärseite kein Verbraucher angeschlossen ist, fließt auch kein Strom I2 und der Ohmsche Widerstand der Sekundär­wicklung hat keinen Einfluss. Weiters fließt auf der Primärseite nur der relativ geringe Leerlaufstrom I0. Damit reduziert sich auch der Spannungsabfall am Wicklungswiderstand entsprechend. Weiters ist im Leerlauf der Effekt der Streuung des Magnetfeldes viel geringer als unter Belastung. Dadurch kann für den Betriebszustand „Leerlauf“ folgende Aussage getroffen werden:

Im Leerlauf verhalten sich beim realen Transformator die Klemmenspannungen annähernd
wie die Windungszahlen.

Nur für den Leerlauf gilt daher in guter Näherung:

Übersetzungsverhältnisse Formel

15.3.3 Die Stromübersetzung

15.3.3.1 Stromübersetzung des idealen Transformators

Zur Bestimmung der Stromübersetzung benötigt man die magnetische Durchflutung Θ (magnetomotive force), die den Einfluss der Stromstärke I und der Windungsanzahl N zum Ausdruck bringt.

Zur Bestimmung der Stromübersetzung wird ein Transformator herangezogen, der auf der Primärseite eine Windungsanzahl N1 und auf der Sekundärseite eine Windungsanzahl N2 aufweist und mit einem Ohmschen Widerstand R belastet ist.

Stromübersetzung beim idealen Transformator

Das im Transformator vorhandene Gesamtfeld Φ kann man sich nun als Überlagerung zweier Felder Φ1 und Φ2 vorstellen, wobei Φ1 von der Primärwicklung und Φ2 von der Sekundärwicklung verursacht wird. Dabei besteht ein direkter Zusammenhang zwischen dem Fluss Φ und der magnetischen Durchflutung Θ:

Umso höher die magnetische Durchflutung Θ, umso höher ist der Fluss Φ.

Wird daher die Sekundärseite belastet, dann fließt in der Sekundärwicklung ein Strom I2. Dieser ergibt mit der Windungszahl N2 die Durchflutung Θ2 = I2∙N2. Diese Durchflutung verursacht nun den Fluss Φ2. Aufgrund der transformatorischen Rückwirkung erhöht sich gleichzeitig der Fluss Φ1. Diese Erhöhung wird durch einen steigenden Primärstrom I1 und eine dadurch ebenfalls ansteigende Durchflutung Θ1 = I1∙N1 in der Primärwicklung verursacht. Der Primärstrom muss sich nun so lange erhöhen, bis im Transformator wieder das Gleichgewicht zwischen Primär- und Sekundärdurchflutung herrscht.

Übersetzungsverhältnisse

Nach Umformung ergibt sich daher für die Stromübersetzung:

Übersetzungsverhältnisse Formel

Beim idealen Transformator verhalten sich die Ströme umgekehrt wie die Windungszahlen.

15.3.3.2 Stromübersetzung des realen Transformators

Beim realen Transformator führen die Verluste im Eisenkern zu einer Abweichung der vom idealen Transformator abgeleiteten Verhältnisse zwischen Strömen und Windungszahlen.

Stromübersetzung beim realen Transformator

Entscheidend sind hier die Magnetisierungsverluste im Eisenkern. Wird der Transformator im Leerlauf betrieben, dann wird der Strom I2 = 0. Bei einem idealen Transformator wäre auch der Strom I1 gleich null. Beim realen Transformator ist jedoch der Leerlaufstrom I0 für die Magnetisierung des Eisenkerns erforderlich. Damit stimmt die Gleichung

Übersetzungsverhältnisse Formel

des idealen Transformators in keinem Fall, da die linke Seite wegen I2 = 0 den Wert unendlich ergibt.

Betreibt man den realen Transformator jedoch mit seiner Nennbelastung, dann fließen auf beiden Seiten im Vergleich zum Leerlaufstrom sehr hohe Ströme. Damit darf der Einfluss des Leerlaufstroms, der auch bei Belastung im Strom I1 enthalten ist, vernachlässigt werden. Für die Nennbelastung kann daher folgende Aussage getroffen werden:

Bei Nennbelastung verhalten sich beim realen Transformator die Ströme annähernd umgekehrt
wie die Windungszahlen.

Für den Betrieb mit Nennbelastung gilt daher in guter Näherung:

Übersetzungsverhältnisse Formel

15.3.4 Die Widerstandsübersetzung

15.3.4.1 Widerstandsübersetzung des idealen Transformators

Betreibt man den Transformator sekundärseitig mit einer Impedanz Z2, dann ergibt sich aufgrund der Klemmenspannung U2 ein Sekundärstrom I2.

Widerstandsübersetzung von der Sekundärseite auf die Primärseite eines idealen Transformators

Durch das Ohmsche Gesetz ergibt sich der Zusammenhang:

Übersetzungsverhältnisse Formel

Um festzustellen, welche transformierte Belastung Z2´ die Impedanz Z2 für die Primärseite darstellt, müssen die Spannungs- und die Stromübersetzung angewendet werden, damit die Größen auf der Primärseite (U1, I1) berechnet werden können. Aus der Spannungsübersetzung ergibt sich für die Spannung U1:

Übersetzungsverhältnisse Formel

Um den Strom I1 zu erhalten, muss die Stromübersetzung angewendet werden:

Übersetzungsverhältnisse Formel

Mit den Größen der Primärseite kann nun die transformierte Belastung Z2´ berechnet werden:

Übersetzungsverhältnisse Formel

Es gilt daher:

Übersetzungsverhältnisse Formel

Bei einem idealen Transformator verhalten sich die auf die Primärseite transformierte
sekundäre Belastung und die sekundäre Belastung wie die Quadrate der Windungszahlen.

Ist eine Transformation der primären Impedanz Z1 auf die Sekundärseite erforderlich, dann kann in gleicher Weise vorgegangen werden.

Es gilt:

Übersetzungsverhältnisse Formel

Widerstandsübersetzung von der Primärseite auf die Sekundärseite eines idealen Transformators

Bei einem idealen Transformator verhalten sich die auf die Sekundärseite transformierte
primäre Belastung und die primäre Belastung umgekehrt wie die Quadrate der Windungszahlen.

15.3.4.2 Widerstandsübersetzung des realen Transformators

Wie bereits bei der Spannungs- und der Stromübersetzung gelten bei einem realen Transformator die bei einem idealen Transformator auftretenden Widerstandsübersetzungsverhältnisse nicht exakt. Beim Betrieb mit Nennbelastung gilt jedoch in guter Näherung:

Übersetzungsverhältnisse Formel

und

Übersetzungsverhältnisse Formel

Anmerkung: die Widerstandsübersetzung wird im Bereich der Hochfrequenztechnik (HF-Technik) angewendet. Hier ist es notwendig, dass der Innenwiderstand des Senders (= Spannungsquelle), der Wellenwiderstand des Kabels und der Strahlungswiderstand der Antenne gleich groß sind. Ist das aus konstruktiven Gründen nicht möglich, dann besteht durch das Zwischenschalten von Übertragern (dabei handelt es sich um hochfrequenztaugliche Transformatoren) mit dem richtigen Übersetzungsverhältnis die Möglichkeit, durch Widerstandstransformation die einzelnen Komponenten aneinander anzupassen.

15.3.5 Das Windungsverhältnis

Das Windungsverhältnis (turns ratio) ergibt sich aus dem Verhältnis der Windungsanzahl N1 auf der Primärseite und der Windungsanzahl N2 auf der Sekundärseite.

Übersetzungsverhältnisse Formel

Windungsverhältnis

Das Windungsverhältnis ü ist das Verhältnis von N1 zu N2.

Damit können die Übersetzungsverhältnisse für den idealen Transformator auch folgendermaßen formuliert werden:

Übersetzungsverhältnisse Formel

15.3.6 Die Leistungsübertragung

15.3.6.1 Leistungsübertragung des idealen Transformators

Da bei einem idealen Transformator bei der Leistungsübertragung keine Verluste auftreten, ist die Eingangsscheinleistung S1 so groß wie die Ausgangsscheinleistung S2.

Leistungsübertragung beim idealen Transformator

Für die Leistungen gilt folgender Zusammenhang:

Übersetzungsverhältnisse Formel

Beim idealen Transformator ist die Eingangsscheinleistung gleich der Ausgangsscheinleistung.

15.3.6.2 Leistungsübertragung des realen Transformators

Beim realen Transformator treten sehr wohl Verluste bei der Leistungsübertragung auf. Dadurch ist die Ausgangsscheinleistung S2 immer kleiner als die Eingangsscheinleistung S1.

Leistungsübertragung beim realen Transformator

Beim realen Transformator ist die Ausgangsscheinleistung immer kleiner
als die Eingangsscheinleistung.