Widerstand

7 Widerstand

7.1 Elektrischer Widerstand von Leitungen

7.1.1 Ursache des elektrischen Widerstandes

Fließt ein Strom durch einen Leiter, so bewegen sich die Elektronen zwischen den Atomen im Kristallgitter. Diese Elektronenbewegung wird durch Kollisionen mit den Atomen behindert. Damit setzt der Leiter dem Stromfluss einen Widerstand (resistance) entgegen.

Ursache des elektrischen Widerstands

Der Widerstand eines Leiters wird durch den Zusammenstoß der fließenden Elektronen mit
den Atomen im Kristallgitter hervorgerufen.

7.1.2 Einfluss der Leiterabmessungen

7.1.2.1 Einfluss der Leiterlänge

Schließt man einen Leiter mit einem gewissen Querschnitt und einer gewissen Länge an eine Spannungsquelle an, dann fließt durch den Leiter ein vom Leiterwiderstand abhängiger Strom. Verdoppelt man nun bei sonst gleichen Voraussetzungen die Leiterlänge, dann halbiert sich der durch den Leiter fließende Strom. Das bedeutet, dass sich der Widerstand des Leiters verdoppelt. Der Grund für diese Widerstandserhöhung ist die erhöhte Wahrscheinlichkeit, dass die Elektronen mit den Atomen im Kristall­gitter kollidieren und in ihrer Bewegung behindert werden.

Einfluss der Leiterlänge auf den elektrischen Widerstand

Der Widerstand eines Leiters nimmt mit wachsender Leiterlänge zu.

7.1.2.2 Einfluss des Leiterquerschnitts

Wird im Gegensatz dazu der Querschnitt verdoppelt, dann verdoppelt sich auch der durch den Leiter fließende Strom. Das bedeutet, dass sich der Widerstand halbiert. Der Grund für diese Widerstands­verkleinerung ist die erhöhte Anzahl von Elektronen, die in der gleichen Zeit durch den Leiter fließen können.

Einfluss des Leiterquerschnitts auf den elektrischen Widerstand

Der Widerstand eines Leiters nimmt mit wachsendem Leiterquerschnitt ab.

7.1.3 Einfluss des Leitermaterials

7.1.3.1 Der spezifische Widerstand

Schließt man verschiedene Leiter, die den gleichen Querschnitt und die gleiche Länge haben aber aus verschiedenen Materialien bestehen, an eine Spannungsquelle an und misst den Strom, dann ergibt sich für jeden Leiter eine unterschiedliche Stromstärke. Die Leiter setzen dem Stromfluss einen unterschiedlichen Widerstand entgegen, der vom inneren Aufbau (Atomdichte und Anzahl der freien Elektronen) abhängig ist.

Einfluss des Leitermaterials auf die Stromstärke im Stromkreis

Die Abhängigkeit vom Leitermaterial kommt in Form einer Materialkonstante zum Ausdruck, die als spezifischer Widerstand ρ (specific resistance, electrical resistivity) bezeichnet wird.

Um die verschiedenen Leitermaterialien vergleichen zu können, wird ein Draht mit einer Länge von 1m und einem Querschnitt von 1mm2 verwendet.

„Normleitung“ für die Festlegung des spezifischen Widerstands

Man kann den spezifischen Widerstand daher folgendermaßen festlegen:

Der spezifische Widerstand eines Leitermaterials ist zahlenmäßig gleich seinem
Widerstand bei 1m Länge, 1mm2 Querschnitt und einer Temperatur von 20°C.

Aufgrund dieser Festlegung (l = 1m, A = 1mm2) weist der spezifische Widerstand die Einheit Ωmm2/m auf.

Der spezifische Widerstand stellt einen Proportionalitätsfaktor dar und der Nennwiderstand des Leiters errechnet sich wie folgt:

Widerstand Formel

Anmerkung: der Index „20“ bedeutet, dass der Nennwiderstand des Leiters und der spezifische Widerstand bei einer Temperatur von 20°C angegeben werden.
In nachstehender Tabelle sind die Werte für ρ20 von in der Elektrotechnik häufig verwendeten Materialien angeführt.

Widerstand Tabelle

7.1.3.2 Der Temperaturkoeffizient

Neben dem spezifischen Widerstand haben Leitermaterialien noch eine zweite Materialkonstante: den Temperaturkoeffizienten (temperature coefficient). Durch den Temperaturkoeffizienten kommt jene Eigenschaft zum Ausdruck, dass das Leitermaterial bei unterschiedlichen Temperaturen einen unter­schiedlichen Widerstand besitzt. Um die einzelnen Materialien miteinander vergleichen zu können, wird der Nennwiderstand bei einer Temperatur von 20°C angegeben.

Der Nennwert eines Widerstandes wird bei einer Temperatur von 20°C angegeben.

Die Änderung des Widerstandes mit der Temperatur ist im Allgemeinen nichtlinear und kann durch folgende Formel dargestellt werden:

Widerstand Formel

Für die Kennlinie ergibt sich aufgrund des quadratischen Terms „Δh2“ der folgende, nichtlineare Verlauf:

Nichtlineare Abhängigkeit des Widerstandes von der Temperatur

Da die Werte für β20 sehr klein sind, müssen sie erst bei höheren Temperaturdifferenzen berücksichtigt werden.
Für Temperaturdifferenzen bis ca. 200K kann daher die Näherungsformel

Widerstand Formel

verwendet werden.

Die grafische Darstellung der Formel ergibt eine Gerade.

Lineare Abhängigkeit des Widerstandes bei Temperaturdifferenzen bis 200K

In der Tabelle sind die Temperaturkoeffizienten verschiedener Leitermaterialien angeführt:

Widerstand Tabelle

7.1.3.3 Leitung bei positivem Temperaturkoeffizienten

Erhöht man bei einem metallischen Leiter die Temperatur, dann beginnen die Atome um ihre Ruheposition im Kristallgitter zu schwingen. Für die Elektronen bedeutet dies eine scheinbare Vergrößerung des Atomdurchmessers.

Vergrößerung des Atomdurchmessers bei Temperaturerhöhung

Dadurch nimmt aber auch die Wahrscheinlichkeit zu, dass ein Elektron mit einem Atom zusammenstößt und in seiner Bewegung behindert wird.

Zunahme des Widerstandes mit steigender Temperatur durch mehr Kollisionen im Kristallgitter

Dadurch steigt der Widerstand des Leiters mit zunehmender Temperatur.
Da der Leiter den Strom bei tiefen Temperaturen besser leitet als bei hohen, bezeichnet man derartige Leitermaterialien als Kaltleiter.
Eine Widerstanderhöhung bei Temperaturerhöhung ist nur durch einen positiven Temperaturkoeffizienten möglich. Daher werden Widerstände, die aus einem Kaltleiter gefertigt sind, als PTC-Widerstände (PTC = Positive Temperature Coefficient) bezeichnet.

Bei einem Kaltleiter (PTC-Widerstand) nimmt der Widerstand bei Erwärmung zu.

Prinzipieller Verlauf der Kennlinie eines PTC-Widerstandes

7.1.3.4 Leitung bei negativem Temperaturkoeffizienten

Bei einigen Materialien (z.B. Kohle) tritt bei Erwärmung ein anderer Effekt auf: durch die Energiezufuhr werden zusätzliche Ladungsträger frei.

Abnahme des Widerstandes mit steigender Temperatur durch Erhöhung der Ladungsträgeranzahl

Da dieser Effekt einen stärkeren Einfluss als die Durchmesservergrößerung durch die Atomschwingungen hat, wird das Material bei steigenden Temperaturen besser leitfähig und der Widerstand nimmt ab. Die Bezeichnung für derartige Materialien ist daher Heißleiter und ein Widerstand, der aus einem Heißleiter gefertigt wird, trägt entsprechend die Bezeichnung NTC-Widerstand (NTC = Negative Temperature Coefficient).

Bei einem Heißleiter (NTC-Widerstand) nimmt der Widerstand bei Erwärmung ab.

Prinzipieller Verlauf der Kennlinie eines NTC-Widerstandes